1.
Nilai optimum dari 2x + 3y
pada daerah himpunan penyelesaian pada daerah yang diarsir tersebut adalah....
A. 45
B. 22
C. 31
D. 12
Jawab : C. 31
Uji masing-masing titik ke dalam f (x,y) = 2x + 3y
A (3 , 1) ⇒ 2 (3) + 3 (1) = 6 + 3 = 9
B (6 , 2) ⇒ 2 (6) + 3 (2) = 12 + 6 = 18
C (7 , 5) ⇒ 2 (7) + 3 (5) = 14 + 15 = 29
D (5 , 7) ⇒ 2 (5) + 3 (7) = 10 + 21 = 31 (maks)
E (2 , 8) ⇒ 2 (2) + 3 (8) = 4 + 24 = 28
Jadi nilai maksimum fungsi objektif 2x +3y
adalah 31
2.
Nilai
maksimum fungsi objektif 4x +2y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x+y lebih besar
sama dengan 4,x+y lebih kecil sama dengan 9,-2x+3y lebih kecil sama dengan 12
dan 3x-2y lebih kecil sama dengan 12 adalah…
A. 16
B. 24
C. 30
D. 36
E. 48
Dapat diringkas terlebih dahulu dalam model
matematika berikut :
fungsi objektif f(x,y) = 4x + 2y
x + y ≥ 4
x + y ≤ 9
-2x + 3y ≤ 12
3x - 2y ≤ 12
Pembahasan :
I. Pertidaksamaan x + y ≥ 4 dibatasi oleh x + y = 4
jika x = 0 ⇒ 0 + y = 4
y = 4
titik (0 , 4)
jika y = 0 ⇒ x + 0 = 4
x = 4
titik (4 , 0)
II. Pertidaksamaan x + y ≤
9 dibatasi oleh x + y = 9
jika x = 0 ⇒ 0 + y = 9
y = 9
titik (0 , 9)
jika y = 0 ⇒ x + 0 = 9
x = 9
titik (9 , 0)
III. Pertidaksamaan -2x + 3y ≤
12 dibatasi oleh -2x + 3y = 12
jika x = 0 ⇒ -2 (0) + 3y = 12
3y
= 12
y = 12/3
y = 4 titik (0 , 4)
jika y = 0 ⇒ -2x + 3 (0) = 12
-2x = 12
x = 12 / -2
x = -6 titik (-6 , 0)
IV. Pertidaksamaan 3x - 2y ≤ 12 dibatasi
oleh 3x - 2y = 12
jika x = 0 ⇒ 3 (0) - 2y = 12
-2y = 12
y = 12 / -2
y = -6 titik (0 , -6)
jika y = 0 ⇒ 3x - 2 (0) = 12
3x
= 12
x = 12 / 3
x = 4 titik (4 , 0)
Berdasarkan ke empat pertidaksamaan tersebut
diperoleh daerah penyelesaian seperti gambar yang ada pada lampiran.
Empat titik pojok = A (0 , 4) , B (4 , 0) , C (6 ,
3) , D (3 , 6)
Uji titik pojok ke dalam f (x,y) = 4x + 2y
A (0 , 4) ⇒ 4 (0) + 2 (4) = 0 + 8 = 8
B (4 , 0) ⇒ 4 (4) + 2 (0) = 16 + 0 = 16
C (6 , 3) ⇒ 4 (6) + 2 (3) = 24 + 6 = 30 (maks)
D (3 , 6) ⇒ 4 (3) + 2 (6) = 12 + 12 = 24
Jadi nilai maksimum fungsi objektif 4x +2y adalah 30
3.
Nilai
maksimum dari 3y – x dari sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x ; y ≤ 2x ; 2y + x ≤ 20;
x + y ≥ 9 dicapai di titik…
a. P
b. Q
c. R
d. S
e. T
Jawab:
- Titik P
P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x,
maka subtitusikan saja:
2y + y = 9
3y = 9
y = 3 maka x = 2y = 6 ... titik P (6, 3)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3
- Titik Q
Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x,
maka subtitusikan saja:
x + 2x = 9
3x = 9
x =3 dan y = 2x = 6 ... titik Q(3, 6)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15
- Titik R
R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x,
maka subtitusikan saja:
2.2x + x = 20
5x = 20
x = 4 dan y = 2x = 8 ... titik R (4, 8)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20
- Titik S
S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x,
maka subtitusikan saja:
x + x = 20
2x = 20
x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 ... titik S (10, 5)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5
Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R
4. 4.
Fungsi f(x,y) = 2x+2y-5 yang
didefinisikan pada daerah yang diarsir mencapai minimum pada …
A. Titik
D
B. Titik
C
C. Titik
B
D. Titik
A
E. Titik
(1,2)
5. Nilai
maksimum P = 15x + 25y yang memenuhi sistem pertidaksamaan :
x + 3y ≤ 6
x + y ≤ 4
x ≥ 0
y ≥ 0
A.
30
B.
40
C.
50
D.
60
E.
70
Pembahasan :
X + 3y = 6
X + y = 4
=> Hasil eliminasinya 2y = 2, maka y=1
Sementara nilai x, adalah…
X + y = 4
X + 1 = 4
X = 3
Maka,
P = 15x + 25y
= 15 (3) + 25 (1)
= 45 +
25
= 70
6. 6. Daerah yang diarsir pada gambar, nilai maksimum fungsinya pada x +y = ...
A. 4
B.6
C.8
D.9
E.12
Jawab :
Kedua garis tersebut, berpotongan tepat di titik (2,2)
Substitusi nilai x dan y dari masing-masing titik
pojok ke fungsi tujuan A(x,y) = x + y sebagai berikut :
A(0,3) → A(0,3) = 0 + 3 = 3
B(2,2) → A(2,2) = 2 + 2 = 4 → maksimum.
C(3,0) → A(3,0) = 3 + 0 = 3
Jadi nilai maksimum fungsi tujuan= 4
7. 7. Nilai minimum dari Z = 3x + 6y yang memenuhi syarat : 4x +
y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah
A.
10
B.
20
C.
30
D.
40
E.
50
Jawab:
x + y ≤ 20
·
x = 0 maka y = 20 ⇒ (0, 20)
·
y = 0 maka x = 20 ⇒ (20, 0)
Hubungkan titik (0, 20) dan (20, 0) dan karena ≤, maka diarsir ke
bawah
4x + y ≥ 20
·
x = 0 maka y = 20 ⇒ (0, 20)
·
y = 0 maka x = 5 ⇒ (5, 0)
Hubungkan titik (0, 20) dan (5, 0) dan karena ≥, maka diarsir ke
atas
x + y ≥ 10
·
x = 0 maka y = 10 ⇒ (0, 10)
·
y = 0 maka x = 10 ⇒ (10, 0)
Hubungkan titik (0, 10)
dan (10, 0) dan karena ≥, maka diarsir ke atas
x ≥ 0, dan y ≥ 0, maka daerah penyelesaiannya berada di kuadran
I
Titik potong garis (4x + y ≥ 20) dan (x + y ≥
10)
4x + y = 20
x + y = 10
-------------- –
3x = 10
x = 
x + y = 10
y = 
Setelah digambar,
diperoleh titik-titik sudutnya yaitu
- (0, 20), (
), (10, 0), (20, 0)
Kemudian substitusikan
titik-titik tersebut ke fungsi sasaran: Z = 3x + 6y
- (0, 20) ⇒ Z = 3(0) + 6(20) = 120
- () ⇒ Z = 3() + 6(
) = 10 + 40 = 50
- (10, 0) ⇒ Z = 3(10) + 6(0) = 30 (Minimum)
- (20, 0) ⇒ Z = 3(20) + 0 = 60
Jadi nilai
minimum dari Z adalah 30 di titik (10, 0)
8. 8. Nilai minimum dari bentuk (4x + 3y) pada daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + 3y > 9, x + y >4, x > 0, y
>0 adalah…
A. 12
B. 13
C. 15
D. 16
E. 18
Jawab :
- Titik potong pada sumbu x dan
sumbu y
Pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 9
Titik potong (0, 3) dan (4,5 , 0)
Pertidaksamaan x + y ≥ 4
Titik potong (0, 4) dan (4, 0)
Apabila koefisiennya positif dan mempunyai tanda ≥, maka daerah
arsirannya keatas.
- Titik potong kedua persamaan
garis
Eliminasi pers I dan II
2x + 3y = 9 |×1| 2x + 3y = 9
x + y = 4 |×3| 3x + 3y = 12
------------------ --
-x = -3
x = 3
Subtitusi
x + y = 4
3 + y = 4
y = 4 - 3
y = 1
Titik potong kedua garis adalah (3 , 1)
- Nilai minimum fungsi objektif
Uji titik p = 4x + 3y
A (0, 4) ⇒ 4 (0) + 3 (4) = 12 Minimum
B (3, 1) ⇒ 4 (3) + 3 (1) = 12 + 3
= 15
C (4,5 , 0) ⇒ 4 (4,5) + 3 (0) = 18
Jadi nilai minimum adalah 12
9. 9. Nilai minimum f(x,y) =
5x+4y yang memenuhi Sistem Pertidaksamaan:
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
E. 18
Jawab :
Tentukan titik pojok dari pertidaksamaan :
- 3x+4y ≥ 12 (4,0) dan (0,3)
- 3x+2y ≤ 9
(3,0) dan (0;4,5)
·
Eliminasi pers I dan II
3x + 4y = 12
3x + 2y = 9
------------------ -
2y = 3
y = 1,5
·
Subtitusi
3x + 4y = 12
3x + 4 (1,5) = 12
3x = 12 – 6
X = 2
Sehingga, titik potongnya ialah (2;1,5)
- Nilai minimum fungsi 5x+4y
Uji titik
A (4, 0) ⇒ 5 (4) + 4 (0) = 20
Minimum
B (2, 1,5) ⇒ 5 (2) + 4 (1,5) = 10 + 6 = 16 Minimum
C (0 , 4,5) ⇒ 5 (0) + 4 (0) = 18
10.
Jika
daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan daerah penyelesaian untuk
soal program linear dengan fungsi sasaran f(x,y) = x-y, maka nilai maksimum
f(x,y) adalah
